李代数: 引出

这篇文章总结了《视觉 SLAM 14 讲》中第四讲(李群与李代数)的部分内容. 跳到小结.

群 #

群是一种集合加上一种运算的代数结构. 记集合为 $A$, 运算为 $\cdot$, 则群可以记为

$$G = (A, \cdot)$$

运算性质 #

群要求运算 $\cdot$ 满足以下条件:

• 封闭性:

$$\forall a_1, a_2 \in A, a_1 \cdot a_2 \in A.$$

• 结合律:

$$\forall a_1, a_2, a_3 \in A, (a_1 \cdot a_2) \cdot a_3 = a_1 \cdot (a_2 \cdot a_3).$$

• 幺元:

$$\exists a_0 \in A, \;s.t. \forall a \in A, a_0 \cdot a = a \cdot a_0 = a.$$

• 逆:

$$\forall a \in A, \exists a^{-1} \in A, \; s.t. a \cdot a^{-1} = a_0.$$

常见的群: #

• 一般线性群 $GL(n)$: 指 $n \times n$ 可逆矩阵, 对矩阵乘法运算成群.
• 特殊正交群 $SO(n)$: 即旋转矩阵群, 对矩阵乘法成群, $SO(2)$ 和 $SO(3)$ 最常见.
• 特殊欧氏群 $SE(n)$: 代表了 $n$ 维欧式变换, 对矩阵乘法成群, 如 $SE(2)$, $SE(3)$.

李群 #

李群指具有连续(光滑)性质的群.

• 整数群 $\mathbb{Z}$ 就没有连续性质;

• $SO(n)$ 和 $SE(n)$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上是连续的, 它们是李群.

• 回顾:

  • 特殊正交群 $SO(n)$:

  $$SO(n) = \left \lbrace \mathbf{R} \in \mathbb{R}^{n \times n} \; | \; \mathbf{RR}^T = \mathbf{I}, det(\mathbf{R}) = 1 \right \rbrace.$$

  • 特殊欧氏群 $SE(n)$:

  $$SE(n) = \left \lbrace \mathbf{T} = \left [ \begin{array}{cc} \mathbf{R} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{array} \right ] \in \mathbb{R}^{(n+1) \times (n+1)} \; | \; \mathbf{R} \in SO(n), \mathbf{t} \in \mathbb{R}^n \right \rbrace$$

• 视觉 SLAM 中主要讨论的是 $SO(3)$ 和 $SE(3)$ 这两个李群.

李代数 #

引出 #

考虑 $SO(3)$ 中的元素 $\mathbf{R}$, 有

$$\mathbf{RR}^T = \mathbf{I}.$$

类似地, 对一个随时间变化的旋转矩阵 $\mathbf{R}(t)$, 有

$$\mathbf{R}(t)\mathbf{R}(t)^T = \mathbf{I}.$$

上式左右两边对 $t$ 求导有

$$\mathbf{\dot{R}}(t)\mathbf{R}(t)^T + \mathbf{R}(t)^T\mathbf{\dot{R}}(t) = \mathbf{0},$$

即

$$\mathbf{\dot{R}}(t)\mathbf{R}(t)^T = -[\mathbf{R}(t)^T\mathbf{\dot{R}}(t)]^T.$$

这说明矩阵 $\mathbf{\dot{R}}\mathbf{R}^T$ 是一个反对称矩阵. 故存在向量 $\boldsymbol\phi(t) \in \mathbb{R}^3$ 使得

$$\mathbf{\dot{R}}\mathbf{R}^T = \boldsymbol\phi(t)^\wedge.$$

在等式两边右乘 $\mathbf{R}(t)$, 得

$$\mathbf{\dot{R}}(t) = \boldsymbol\phi(t)^\wedge\mathbf{R}(t).$$

这说明要对矩阵 $\mathbf{R}$ 求一次导数, 只需要左乘一个反对称矩阵 $\boldsymbol\phi^\wedge$ 即可.

设 $\mathbf{R}(t)$ 在 $t_0 = 0$ 处的值为 $\mathbf{I}$, 可以把 $\mathbf{R}(t)$ 在 $t_0 = 0$ 附近做一阶泰勒展开:

$$\begin{aligned} \mathbf{R}(t) &\approx \mathbf{R}(t_0) + \mathbf{\dot{R}}(t_0)(t - t_0) \\\\ &= \mathbf{I} + \boldsymbol\phi(t_0)^\wedge. \end{aligned}$$

$\boldsymbol\phi$ 反映了 $\mathbf{R} \in SO(3)$ 的导数性质, 故称它在 $SO(3)$ 原点附近的正切空间(Tangent Space)上.

在 $t_0 = 0$ 附近, 设 $\boldsymbol\phi$ 为常数 $\boldsymbol{\phi_0}$, 有

$$\begin{aligned} \mathbf{\dot{R}} &= \boldsymbol\phi(t_0)^\wedge \mathbf{R}(t), \\\\ \Rightarrow \mathbf{\dot{R}} &= \boldsymbol\phi^\wedge_0\mathbf{R}(t). \end{aligned}$$

这是关于 $\mathbf{R}$ 的微分方程, 由于已知 $\mathbf{R}(0) = \mathbf{I}$, 则有

$$\mathbf{R}(t) = \exp(\boldsymbol\phi^\wedge), \text{where} \; \mathbf{R} \in SO(3).$$

如此就得到了 $SO(3)$ 中元素 $R$ 与 $\mathbb{R}^3$ 中向量 $\boldsymbol\phi$ 的映射关系. 也出现了两个问题:

1. 与 $\mathbf{R}$ 对应的 $\boldsymbol\phi$ 有何含义?
2. 矩阵指数 $\exp(\boldsymbol\phi^\wedge)$ 如何计算?

定义 #

每个李群都有与之对应的李代数. 李代数描述了李群的局部性质.

定义: 李代数由一个集合 $\mathbb{V}$, 一个数域 $\mathbb{F}$ 和一个二元运算 $[,]$ 组成. 如果它们满足以下性质, 称 $(\mathbb{V}, \mathbb{F}, [,])$ 为一个李代数, 记作 $g$:

• 封闭性: $\forall X, Y \in \mathbb{V}, [X, Y] \in \mathbb{V}.$
• 双线性: $\forall X, Y, Z \in \mathbb{V}, a, b \in \mathbb{F}$, 有

$$\begin{aligned} [aX + bY, Z] &= a[X, Z] + b[Y, Z], \\\\ [Z, aX + bY] &= a[Z, X] + b[Z, Y]. \end{aligned}$$

• 自反性(交错性): $\forall X \in \mathbb{V}, [X, X] = 0$.

自反性指自己与自己进行李括号运算结果为零.

• 雅可比等价: $\forall X, Y, Z \in \mathbb{V}$, 有

$$[X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y]] + [Y, [Z, X]] = 0.$$

• 此处有推论(反交换律): 由双线性和自反性(交错性), 有

  $$\begin{aligned} 0 = [X + Y, X + Y] &= [X, X + Y] + [Y, X + Y] \\\\ &= [X, X] + [X, Y] + [Y, X] + [Y, Y] \\\\ &= [X, Y] + [Y, X] \end{aligned}$$

  故有 $[X, Y] = -[Y, X]$. (反交换律)

• 例子:

  • 三维向量 $\mathbb{R}^3$ 上定义的叉积 $\times$ 是一种李括号, 因此 $g = (\mathbb{R}^3, \mathbb{R}, \times)$ 构成了一个李代数.

李代数 $so(3)$ #

在前面的引出中提到的 $\phi$, 事实上是一种李代数. $SO(3)$ 对应的李代数是定义在 $\mathbb{R}^3$ 上的向量, 记作 $\boldsymbol\phi \in \mathbb{R}^3$. 每一个 $\phi$ 都可以对应生成一个反对称矩阵 $\boldsymbol\Phi$:

$$\boldsymbol\Phi = \boldsymbol\phi^\wedge = \left [ \begin{array}{ccc} 0 & -\phi_3 & \phi_2 \\\\ \phi_3 & 0 & -\phi_1 \\\\ -\phi_2 & \phi_1 & 0 \end{array} \right ] \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$$

在此定义下, 两个向量 $\phi_1, \phi_2$ 的李括号为:

$$[\phi_1, \phi_2] = (\boldsymbol\Phi_1 \boldsymbol\Phi_2 - \boldsymbol\Phi_2 \boldsymbol\Phi_1)^{\vee}.$$

由于 $\phi$ 与其对应的反对称矩阵 $\boldsymbol\Phi$ 之间的关系很紧密, 故在不引起歧义的情况下, 就称李代数 $so(3)$ 的元素是 3 维向量或 3 维反对称矩阵:

$$so(3) = \left \lbrace \boldsymbol\phi \in \mathbb{R}^3, \boldsymbol\Phi = \boldsymbol\phi^\wedge \in \mathbb{R}^{3\times 3} \right \rbrace.$$

三维向量 $\phi \in so(3)$ 与其在 {SO(3) 中的旋转矩阵的对应关系由_指数映射_给出:

$$\mathbf{R} = \exp(\boldsymbol\phi^\wedge).$$

李代数 $se(3)$ #

对于李群 $SE(3)$, 也有对应的李代数 $se(3)$.

李群 $SE(3)$ 的形式可以表示为:

$$SE(3) = \left \lbrace \mathbf{T} = \left [ \begin{array}{cc} \mathbf{R} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{array} \right ] \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \; | \; \mathbf{R} \in SO(3), \mathbf{t} \in \mathbb{R}^3 \right \rbrace.$$

每个变换矩阵 $\mathbf{T}$ 有六个自由度, 故对应的李代数 $\boldsymbol\xi$ 位于 $\mathbb{R}^6$ 中 ^[1]:

$$se(3) = \left \lbrace \boldsymbol\xi = \left [ \begin{array}{c} \boldsymbol\rho \\ \boldsymbol\phi \end{array} \right ] \in \mathbb{R}^6, \boldsymbol\Xi = \boldsymbol\xi^\wedge = \left [ \begin{array}{cc} \boldsymbol\phi^\wedge & \boldsymbol\rho \\ \mathbf{0}^T & 0 \end{array} \right ] \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \right \rbrace.$$

注意此处 $^\wedge$ 不再表示向量 $\rightarrow$ 反对称矩阵的映射, 而是把一个六维向量映射为一个四维矩阵.

可以看到 $\xi$ 的前三维代表平移 (此时的 $\boldsymbol\rho$ 还不直接是平移向量), 后三维代表旋转 (后三维即 $\boldsymbol\phi \in so(3)$ ). 这一李代数对应微分方程:

$$\mathbf{\dot{T}}(t) = \boldsymbol\xi^\wedge(t) \mathbf{T}(t).$$

于是有

$$\mathbf{T}(t) = \exp(\boldsymbol\xi^\wedge) \mathbf{T}(t_0).$$

由_指数映射_, 有

$$\begin{aligned} \exp(\boldsymbol\xi^\wedge) &= \left \lbrace \begin{array}{cc} \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n}(\boldsymbol\phi^\wedge)^n & \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+1)!}(\boldsymbol\phi^\wedge)^n \boldsymbol\rho \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{array} \right \rbrace \\ &= \left \lbrace \begin{array}{cc} \boldsymbol\Phi & \mathbf{J}\boldsymbol\rho \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{array} \right \rbrace. \end{aligned}$$

小结 ^[1:1] #

• 李代数表达的正切空间, 具有和其对应李群相同的自由度;
• _指数映射_能够把正切空间中的向量正好映射到原李群.